Hur räknar man ut arean av en pyramid?

Vad är area?

Vi börjar med att beskriva konceptet area. Det handlar om hur stor yta någonting har. Arean mäts alltid i fyrkantiga mått, kvadratcentimeter, kvadratmeter etc. Har det vi ska mäta en annan form än kvadratisk så kan vi säga att vi måste dela upp formen i bitar och sedan sätta ihop det igen i kvadrater för att kunna mäta ytmåttet, arean.

Pyramidens area

En pyramid är en geometrisk figur med samma form som de egyptiska pyramiderna. Det är en figur som består av en basyta, den delen den står på, och  triangelformade sidoytor som stäcker sig upp från basytan och möts högst upp i en spets. Basytan kan ha formen av en kvadrat, rektangel eller triangel. Basytans form kommer att påverka hur arean räknas ut.

Pyramid med kvadratisk basyta

För att räkna ut den sammanlagda arean av en rak pyramid med kvadratisk basyta ska vi börja med att plocka sönder den i delar. Med rak pyramid menas att sidoytorna är likadana. Först har vi basytans area. Eftersom den i den här fallet är kvadratisk är det basen gånger höjden. Sedan har vi fyra stycken likadana sidoytor. Det är trianglar så då använder vi oss av formeln för triangelns area. För att få fram triangelns area tar vi basen gånger höjden delat på två. Då har vi fått fram hur stor area varje sidoyta har. Vi måste då komma ihåg att ta det gånger fyra eftersom vi har fyra stycken likadana sidor på vår pyramid. Nu till ett exempel…

Räkneexempel area

Vi antar att vi har en pyramid som har basytan 10 x 10 cm och en höjd på sidoytorna på 12 cm från mitten av kanten där den fäster i basytan och till pyramidens topp. Bredden är ju den samma som basytans bredd dvs. 10 cm. Basytan är då 10×10=100 cm2. Sidoytans area är då 10 x 12 /2 vilket ger, 10×12= 120, 120/2 = 60 cm2. 60 cm2 är alltså arean av en sidoyta och därför får vi ta det gånger 4 för att få fram arean för alla sidoytor. Den sammanlagda arean för sidoytorna är alltså 4 x 60 = 240 cm2. Till slut lägger vi ihop basytans radie med sidoytornas, 100 cm2 + 240 cm2 = 340 cm2. Den sammanlagda arean av hela pyramiden är 340 cm2.

Hur räknar man ut arean av en kub?

Kuber och rätblock

Tre-dimensionella fyrkanter kan antingen vara kuber eller rätblock. Har figurens höjd längd och bredd lika långa sidor dvs är de kvadratiska så är det en kub. Har figuren däremot rektangulära, dvs avlånga sidor så är det ett rätblock. En tärning har formen av en kub medan en tegelsten däremot är ett exempel på ett rätblock. För att en kub ska vara en kub krävs även att alla vinklar är räta, dvs 90 grader.

Arean av en kvadrat

Av de geometriska figurerna är kuben den lättaste att räkna ut arean av. Vi vet hur vi räknar ut arean av en kvadrat. Det är längden gånger höjden. Vi tar en sida av kuben och räknar ut hur stor den är. Har varje sida till exempel måttet 20 x 20 cm så tar vi 20 x 20 vilket är 400 cm2. Då vet vi att varje sida av kuben har arean 400 cm2. Hur många sidor har då kuben? Ja, hur många sidor har en tärning?

Areaberäkning

Eftersom träningen har 6 sidor så har även vår kub det. Vi får alltså ta arean av en sida gånger 6. I det här fallet har vi en kub med sidan 20 cm och vi vet att arean av en sida är 400 cm2. Tar vi 400 cm2 x 6 så får vi fram den totala arean av hela figuren. 400 x 6 = 24 000 cm2. Det betyder att den totala ytan, arean av vår kub är 24 000 cm2. Det innebär att om vår kub är en flyttkartong till exempel hade vi kunnat vika ut den och lägga den platt på marken och den hade då täckt en yta av 24 000 cm2. Men hur mycket är egentligen det?

Omvandling av enheter

Det är svårt att få en idé om hur stor en yta är när den är skriven i en enhet som inte passar för ändamålet eller om den har många decimaler eller nollor. 20 cm var en passade enhet när det handlade om sidan på vår kub. Men 24 000 cm2 är inte en passande enhet för att berätta hur stor sammanlagd yta hela figuren har. Därför är det bra att kunna omvandla enheten till en mer passande. 24 000 cm2 är det lika med 24 dm2. Nu är det lättare att få en uppfattning om storheten på vår kub.

Läs också: Hur räknar man ut volymen av ett prisma?

Hur räknar man ut arean av en kon?

Area betyder hur stor sammanlagd yta en figur har. Den geometriska figuren kon har en cirkelformad basyta och sedan en yta som stäcker sig från cirkel och upp tills att den möts i en spets. Denna sidoyta brukar på matematikspråk kallas för mantelyta. En kon är helt enkelt formad som en klassisk kon som du dribblat runt på fotbollsträningen som liten eller haft på huvudet som stjärngosse-strut för den delen.

Pi och area

Det som gör det lite knepigare att räkna ut arean av en kon än andra mer kantiga figurer är att vi som alltid när det har att göra med cirklar måste använda oss av pi. Pi är ett begrepp som används i matematiken för att räkna ut arean av cirklar bland annat. Man brukar säga att pi är lika med 3,14. Det är ett ungefärligt mått då Pi egentligen har många decimaler.

Cirkelns area

För att räkna ut arean av en kon börjar vi med att räkna ut basytans area. Den är cirkelformad och formeln för cirkelns area är pi gånger radien i kvadrat. Radien är avståndet från cirkelns mittpunkt till dess ytterkant. Icke att blanda ihop med diametern som är avståndet från den ena sidan av cirkeln till den andra. Vi tar det avståndet gånger sig självt och sedan gånger 3,14. Då har vi räknat ut basytans area. För att räkna ut sidoytans area tar vi radien gånger pi gånger konens höjd. Då har vi fått fram arean för de olika delarna och behöver bara lägga ihop dem för att få fram den totala arean. Nu till ett exempel.

Räkneexempel area

Vi har en kon som har en basyta med en radie på 5 cm och en höjd på 10 cm. Radien är avståndet från cirkeln smitt till kanten. Vi börjar med att ta 5 gånger 5 vilket är 25 och sedan gånger 3,14. Det ger en basyta på 78,5 cm2.

Sidoytans area räknas därefter ut genom att ta radien gånger 3,14 gånger höjden. I det här fallet 5x 3,14x 10 = 157cm2. Sista steget är då att lägga ihop basytans area med sidoytans area vilket ger, 78,5 + 157 = 235,5 cm2.

Hur räknar man ut arean av en cylinder?

Den geometriska figuren cylinder har formen av en vanlig konservburk. I den här texten ska vi ta en titt på hur man räknar ut arean av en cylinder, dvs hur stor sammanlagd yta den har.

En cylinder kan delas upp i tre delar. Och vi måste dela upp den i dessa delar för att kunna räkna ut dess area. Cylindern består av bottenyta, toppyta och mantelyta. Botten och toppen är cirkelformade. I det här exemplet kommer vi bara att ta upp raka cylindrar, det betyder att botten- och toppytan är lika stora cirklar. Om man viker ut mantelytan, som binder ihop cirklarna så ser man att den har formen av en rektangel. Ytorna vi ska beräkna är alltså två cirklar och en rektangel som vi sedan kommer att lägga ihop för att få fram den totala arean av cylindern. Formeln för cylinderns area är 2 gånger pi gånger radien i kvadrat + höjden gånger (2 gånger pi gånger radien)

Arean av en cirkel

Vi har en konservburk som vi vill måla och måste ta reda på hur stor ytan att måla är. Burken har diametern 6 cm, dvs radien 3 cm och höjden 7 cm. Eftersom vår cylinder består av två stycken cirklar så är det första vi måste göra att räkna ut cirkelns area. Cirkelns area är radien i kvadrat gånger pi. Har vi en cirkel med radien 3 cm så är radien i kvadrat 3×3=9. Vi använder oss av att pi är 3,14 och då är nästa steg att ta 9 x 3,14 vilket blir 28,26 cm2. Det betyder att var och en av våra två cirklar har arean 28,26 cm2. 

Arean av mantelytan börjar med cirkelns omkrets

För att räkna ut den rektangelformade mantelytan som binder ihop de båda cirklarna i vår konservburk så använder vi formeln h(2pir). Eftersom det är en rektangel så är det basen gånger höjden som gäller. I det här fallet kommer höjden vara höjden av cylindern dvs 7 och basen kommer att vara den sidan som är böjd och utgör cirkelns omkrets. Formeln för cirkelns omkrets är 2 gånger pi gånger radien. Eftersom vi alltid måste ta det som står i parentesen först så ska vi börja med att räkna ut 2 gånger pi gånger radien, 2 x 3,14 x 3 = 18,84. Nu vet vi hur lång basen i rektangeln är. Eftersom konservburkens höjd är 7 cm så tar vi 18,84 x 7 vilket är 131,88 cm2.

Räkna ut arean av en konservburk

När vi har arean för cirkeln som utger toppen och botten samt mantelytans area så behöver vi bara lägga ihop dem. Vi tar alltså 28,26 + 28,26 + 131,88= 188,40. Det betyder arean av hela vår cylinderformade konservburk är 188,4 cm2. ¨

Läs också: Hur räknar man ut arean av en kon?

Hur räknar man ut volymen av ett prisma?

Vad är en prisma?

Ett prisma är en geometrisk figur som består av två stycken basytor, vi kan kalla dem botten och toppen och sedan sidoytor som binder ihop dessa två. Prismats basytor kan ha olika form såsom t ex en triangel men de kan också ha mer ovanliga former. Har basytan en enkel form såsom kvadrat eller triangel är det lättare att räkna ut. Har basytan formen av en stjärna eller något liknande är blir det genast knepigare. Då måste man iblanda dela upp basytan i flera delar och räkna ut arean för varje del för sig för att sedan lägga samman dem.

För att räkna ut volymen av ett prisma gäller det att först ta reda på basytans area, det vill säga botten och toppen av figuren. När vi har tagit reda på basytans area är nästa steg att multiplicera den med prismats höjd. Enkelt beskrivet är det alltså arean av basen gånger höjden. Nu till några exempel…

Räkna ut basytans area

Basytans area är olika svår att beräkna beroende på formen på basytan. Det lättaste är förstås om det är en kvadratisk basyta. Då är det kanterna på basytan gånger varandra för att få reda på basytans area. Sedan är det bara att multiplicera aren med höjden för hela prismat. Vi antar att vi har ett prisma med en rektangulär botten som har kanterna 2 och 3 cm. Hela prismat är sedan 5 cm högt. Då får vi först räkna ut basytan, i det här fallet 2 gånger 3 som blir lika med 6. Arean av basytan är då 6 cm2. Nu ska vi multiplicera det med höjden, 5. 6 gånger 5 ger 30 och vår prisma har alltså volymen 30 cm3.

Arean av en triangel

Är det en triangel så är det basen gånger höjden delat på två som gäller eftersom formeln för att räkan ut arean av en triangel är basen gånger höjden delat på två. När vi gjort det så multiplicerar vi arean med höjden på hela figuren. I det här exemplet har triangelns bas 3 cm och höjd 2 cm och höjden av hela prismat är även här 5 cm. Vi börjar likadant med att multiplicera basen och höjden, 3 gånger 2 som är lika med 6. Men nu måste vi avsluta med att dela svaret på två eftersom det är en triangel och inte en rektangel det är frågan om. 6 delat på 2 är 3 och basytans area är således 3cm2. Nästa steg är att multiplicera basytans area med höjden av figuren, i detta fall också 5 cm. 3 gånger 5 ger svaret 15. Volymen av prismat är här alltså 15 cm3.

Räkna ut volymen av en figur

Säg att vi har ett prisma med en basyta som har formen av en stjärna. Då kan vi behöva dela upp stjärnan i flera små bitar, i det här fallet trianglar. Sedan räknar vi ut arean för varje liten del av stjärnan för sig. När vi gjort de subtraherar vi arean av delarna tills vi har fått reda på arean för hela basytan. Nu tar vi arean av hela stjärnan gånger höjden av prismat.

Var det knepigt? Jag hoppas att det klarnat något.

Läs också: Hur räknar man ut arean av en pyramid?

Hur räknar man ut arean av en sfär?

Vad är en sfär?

Ordet sfär kommer från grekiskans ”sphaira” och betyder glob eller boll. Med sfär menas ytan av en helt perfekt rund tre-dimensionell geometrisk figur. Den korrekta definitionen för en sfär är att det är en yta som består av punkter som alla ligger på exakt samma avstånd ifrån mittpunkten. I det här exemplet ska vi ta reda på hur man räknar ut arean av en sfär.

Skillnaden mellan klot och sfär

I matematiken pratar man ibland också om klot och det är lätt att blanda ihop med sfär eftersom det handlar om samma form. Det som skiljer en sfär från ett klot att med ordet sfär menas endast det som omger klotet alltså dess yta. Begreppet klot används för att prata om hela figuren dvs. även det som är innanför sfären. Om vi har ett bowlingklot eller en boll så kallas det för klot. Men pratar vi om den målade ytan på bowlingklotet så är det dess sfär. Det kan förvirra då det ibland kan handla om samma figur. Men ska vi räkna ut volymen av ett klot pratar vi om klotet eftersom det då rör sig om även insidan av figurer. Ska vi däremot räkna ut arean så är det endast sfären som är intressant även om det ibland benämns klot i alla fall. Är det samma figur så har klotet och sfären samma radie och diameter.

Arean av ett klot

För att räkna ut arean av sfären runt ett klot, dess yta, har vi formeln 4 x pi x radien upphöjt i två. Det är så klart att ytan av ett klot är olika stor beroende på hur stort klotet är. Det som visar oss hur stort klotet är är dess radie, avståndet från klotets mittpunkt till vilken punkt som helst på dess yta. När vi har mätt radien den tar vi den gånger sig själv. Därefter tar vi det svaret gånger pi, som vi i det här fallet kommer avrunda till 3,14. och sedan gånger 4. Då har vi fått fram arean av klotets sfär. När vi avrundar pi får vi alltid ett ungefärligt svar.

Radie och diameter

Det första vi måste göra är att ta reda på radien av vårt klot. Avståndet från mittpunkten till ytan. Det är det enda måttet vi behöver för att ta reda på arean av sfären. Om vi inte har radien men däremot diametern, dvs hur stort avstånd det är från kant till kant på klotets tjockaste ställe, kan vi ta det måttet delat på två. Vi kan anta att vi har ett klot med en radie på 5 cm och ta och titta på hur vi för in det i formeln. .

Räkneexempel

Första steget är att ta radien upphöjt i två, dvs radien gånger radien. I det här fallet var radien 5, så då tar vi 5 x 5= 25. Radien av vårt klot upphöjt i två är 25. Nästa steg är att ta det gånger pi. Pi sa vi var ungefär 3,14 så vi använder oss av det även om svaret då inte blir helt exakt utan avrundat. Har man en miniräknare med pi är det bättre att använda det och sedan avrunda på slutet om man vill ha ett exaktare svar. 25 x 3,14 = 78,5. Nu ska vi ta det svaret gånger 4. 78,5 x 4 = 314 cm2. Hade vi nu haft en miniräknare med pi-knapp hade vi fått svaret 314,16… Det vill säga vi hade fått ett exaktare svar än om vi avrundar tidigare i uträkningen. Prova att byta ut radien och sätta in andra siffror istället för 5 och se om du kan räkna ut hur stor yta sfären har.

Läs också: Hur räknar man ut volymen av ett prisma?

Vad är nettolön?

Om man utför ett arbete utgår en lön. Ibland säger man lite slarvigt bara lönen utan att specificera om man pratar om netto- eller bruttolönen. Då kan det lätt uppstå missförstånd. I vissa länder, t ex i Sydeuropa pratar man oftast om nettolönen det vill säga hur mycket man tjänar efter att skatten har dragits. Man menar hur mycket pengar man får i handen i slutet av månaden. Bruttolönen däremot är lönen som företaget betalar ut. Därifrån dras sedan skatt och andra sociala avgifter. I Sverige pratar man nästan alltid om lönen före skatt, dvs. bruttolönen.

Kommunalskatt

För att räkna ut nettolönen måste man veta hur mycket bruttolönen är, dvs lönen innan skatten dras. Vi kan anta att skatten ligger på 30%. Skatten är lite olika i olika kommuner. Det beror på att en del av skatten är kommunalskatt som sätts lokalt i kommunen. Den skatt som du ska betala beräknas efter vilken kommun du bor i även om du har utfört arbetet i en annan kommun. I storstäderna är det t ex olika skattesatser i olika kommuner inom staden och då kan det skilja några procent mellan olika områden inom staden. På skatteverkets hemsida kan du se skattesatsen i olika kommuner. Om du bor i en annan kommun kan du meddela din arbetsgivare om vilken skattesats du har så att korrekt skatt dras direkt. Om fel skattesats dras så kan det justeras genom rest- eller kvarskatt i slutet av året.

Bruttolön till nettolön

Formel: Bruttolönen x (1-skatteprocenten i decimal) (Om skatteprocenten är 30 procent blir det 1-0,30= 0,70)

Bruttolönen x 0,70 0 nettolönen om skatten är 30%.

Räkneexempel:

Om vi har en månadslön på 25 000 kronor före skatt och en skatteprocent på 30 % så blir uträkningen följande.

Bruttolönen x (1-skatteprocenten) = nettolönen

25 000 x (1-0,3) = nettolönen

25 x 0,7 = 17 500

Om bruttolönen är 25 000 och skatten är 30 % så kommer nettolönen att vara 17 500.

Läs också: Räkna ut årslön