Hur räknar man ut volymen?

Volym är hur stort något är eller hur mycket en figur rymmer. Det kan handla om ett mjölkpaket, en tanker eller något annat föremål som man fyller med vätska eller annan gas eller massa. För att räkna ut volymen av ett föremål tar man arean av basen gånger höjden. Det förutsätter dock att figuren har samma form hela vägen upp och en likadan toppyta som basytan. För figurer som har en avsmalnande form upp mot en spets så måste det tas i åtanke när man räknar ut volymen.

Det samma gäller för runda former såsom klot. Hur man räknar ut arean av basytan beror på dess form. Den enklaste figuren har en kvadratisk basyta. Då gäller formeln längden gånger bredden. För att få fram volymen av en kub, som har alla sidor identiska, som en tärning, så är blir det längden gånger bredden gånger höjden.

SI-enheten för volym

SI- enheter, eller det metriska systemet är ett internationellt system för enheter. För volym finns ingen grundenhet i SI-systemet men den härledda enheten för volym är kubikmeter. För att kunna veta hur många kubikmeter en figur är så måste räkna ut dess volym.

Som nämnts tidigare så är det olika formler för olika figurer, och du hittar dem alla här på angränsande sidor. För alla figurer som innehåller runda former av något slag måste vi använda pi för att kunna få fram arean för att sedan räkna ut volymen. Se varje figur för exakta formler och räkneexempel.

Komplicerade figurer

Om figuren har en oregelbunden form så kan du vara tvungen att avgränsa och dela upp figuren i flera mindre delar för att räkna ut volymen av var och en av de mindre figurerna för att sedan lägga ihop dem igen. För att ge ett exempel så kan en stjärna delas upp i flera trianglar.

På samma sätt kan man bli tvungen att räkna ut arean eller volymen av en hel imaginär figur för att sedan skära ut en del som är intressant. Det skulle vara fallet om du till exempel vill veta volymen av en tårtbit av en rund tårta. Du måste då räkna ut arena av basytan av hela tårtan och sedan dela den på så stor del av den totala tårtan som du har på tallriken. En tårtbit är ett exempel på ett prisma. De kan ha vilken form som helst men gemensamt för alla prismor är att de har likadana bas- och toppytor.

Hur räknar man ut volymen av en kon?

En kon är en geometrisk figur som har formen av just en kon som vi tänker oss den. Den klassiska konen på fotbollsträningen, eller glasstruten om du så vill. En kon består av en basyta, den cirkelformade botten, och en mantelyta, den delen som sveper sig runt basytan i form av en mantel och möts uppe i en punkt som markerar spetsen på konen. För att räkna ut arean av en kon använder du dig av dessa två ytor. För att räkna ut volymen är det som vanligt basen och höjden som är intressanta, och därmed radien och höjden som i alla figurer som innehåller runda former.

Kon och cylinder

En kon påminner på vissa sätt om en cylinder, den figuren som är formad som en konservburk. Skillnaden är att cylindern är rak och konen är avsmalnande upp emot spetsen där mantelytans sidor går ihop till en spets. Om konens spets ligger rakt ovanför mitten på cirkeln som utgör basytan så kallas den för en rak cirkulär kon. Det är den formen vi oftast menar när vi pratar om koner och är också det vi i fortsättningen kommer mena när vi talar om koner i den här texten. Om vi har en kon och en cylinder med samma mått så kommer konens volym att vara en tredjedel av cylinderns. Om vi har en cylinderformad burk som har samma cirkulära basyta och samma höjd som en kon så kan vi tänka oss att vi stoppar ner konen i burken och det kommer då att vara tomt uppe runt spetsen. Den delen utgör två tredjedelar av burkens volym. Det var lite bakgrund, nu till formeln.

Räkna ut volymen av en kon

  • Volymen av en cylinder är basen gånger höjden.
  • Volymen av en kon är basen gånger höjden delat på tre.
  • Vi vet att vi vill ta basen gånger höjden delat på tre men då måste vi först räkna ut basens area. Eftersom det är en cirkulär basyta så måste vi använda oss av pi. Vi antar att  är 3,14.

Formeln för volymen av en kon

Vi måste först räkna ut basytans area, radien upphöjt i två gånger pi. När vi har räknat ut basytan tar vi den gånger höjden då har vi volymen för motsvarande cylinder. Slutligen tar di den delat på tre så får vi fram konens volym. Nu till ett exempel.

Räkneexempel volym av kon

Lotta har gjort en strut av papper för att fylla den med godis. Struten är konformad och har diametern 10 cm och höjden 12 cm. Hur stor volym har godisstruten?

Strutens basyta har radien 5 cm. Då börjar vi med att räkan ut basytans area.

5 x 5 x 3,14  = 78,5 cm är basytans area

Basen gånger höjden delat på tre = volymen av struten

78,5 x 12 /3 = 314

Volymen av struten är 314 kvadratcentimeter.

Hur räknar man ut volymen av en kub?

Volym använder vi för att tala om hur stor plats något tar eller hur stor rymd en figur har. SI-enheten för volym är m3 , kubikmeter. En kub är en tredimensionell kvadrat där alla sidor är lika långa. En kubikmeter kan vara en kub där alla sidor är en meter. Det kan också vara en annan figur med annan form men som om man skulle forma om den skulle ha storleken av en kub med alla sidor en meter långa.

Volymen av en kub

Nu ska vi lära oss att räkna ut volymen av en kub. Om man ska räkna ut arean av en kvadrat så tar man ju längden gånger höjden. Nu har vi en tredimensionell figur med samma form så då måste vi ta gånger höjden också. Det är alltså längden gånger bredden gånger höjden.

Volymen av en kub = Längden x Bredden x Höjden

Om det är en kub så kommer alla sidor vara lika långa. Då är det bara att ta dem gånger varandra. Om vi till exempel har en kub som har sidan 5 cm så kommer det att bli 5x5x5= 125 cm3.

Räkna ut volymen av ett rätblock

Ett rätblock är en tredimensionell fyrkant men när de olika sidorna är olika långa. Den har fortfarande alla vinklar i 90 grader precis som kuben men sidorna har olika längd. Exempel på rätblock är figurer som en tegelsten, ett mjölkpaket, en tändsticksask osv. För att räkna ut volymen av ett rätblock så är det också längden x bredden x höjden. Den enda skillnaden är att det inte kommer att vara samma längd på de olika sidorna.

Omvandling av enheter

Det är vanligt att man talar om volym i liter då vi är mer vana att göra det både vad det gäller matförpackningar som mjölkpaket och stora volymer som tankar och containrar. En kub som har sidan 1 dm kommer att ha volymen en liter. Det går att tänka sig att om man omformar ett mjölkpaket så att det blir kvadratiskt då skulle ha alla sidor en decimeter långa. Det skulle vara 1 dm x 1 dm x 1dm = 1 dm3 vilket motsvarar en liter.

1 dm3 = 1 liter

0,001 m3 = 1 liter

För att lära dig räkna ut volymen av mer komplexa figurer ta en titt på hur du räknar ut volymen av ett klot, ett prisma eller en kon.

Läs också: Hur räknar man ut arean av en kub?

Hur räknar man ut volymen av ett klot?

Volym

Volym handlar om hur mycket plats en figur tar. Den kan bestå av vätska, gas eller som oftast är fallet fast form som en matematisk figur av något slag. Det kan handla om att du vill räkna ut hur många liter det får plats i ett badkar av en viss storlek eller se hur stor plats en viss mängd av ett byggmaterial kommer att ta. Eller varför inte hur stort ett glas måste vara för att rumma en viss mängd vätska. Allt detta handlar om volym.

Räkna ut volymen av ett klot

Ett klot är den matematiska termen för en boll eller tredimensionell cirkel. När man pratar om arean av ett klot brukar man prata om sfär för då är det bara ytan som är intressant. Men när det handlar om klotet som helhet inklusive dess insida så är det termen klot som gäller. Det är lite knepigare att räkna med runda eller halvrunda figurer än med kantiga men formeln för volymen av ett klot är följande.

Volymen av ett klot

För att räkna ut det exakt så kan man använda en miniräknare som har en pi-knapp. Om man inte har en sådan miniräknare så går det bra att använda sig av p = 3,14. Det är den vedertagna avrundningen av pi. Men då pi egentligen har många decimaler så blir det då inte ett helt exakt svar.

Radien är avståndet från klotets mitt ut till kanten. Om man inte har tillgång till radien men vet diametern, dvs avsåndet från ena sidan av klotet till det andra rakt igenom mittpunkten, så tar man diametern delat på två för att få fram radien.

Räkneexempel volym av klot

Om vi antar att vi har ett klot med en radie på 5 cm och vi använder oss av p = 3,14 så blir uppställningen:

 

(4 x 3,14 x 53

3

4 x 3,14 x 275 = 1151,33 cm3

3

Volymen av ett klot med radien 5 cm är 1151,33 cm3

Olika geometriska figurer har olika formler för uträkning av volymen. Här kan du se hur du räknar ut volymen av en kub, cylinder, kon och ett prisma.

Läs också: Hur räknar man ut arean av en sfär?

Omvandla meter, decimeter, centimeter och millimeter

Här ska vi ta en titt på hur vi omvandlar olika enheter som hänger ihop med meter. Alla enheter som slutar på meter har helt enkelt med meter att göra och är också mycket lättare att omvandla än andra längdmått såsom till exempel miles och tum. Om vi tittar på de mått som är delar av en meter så är det närmast metern decimeter (dm) som är en tiondel av en meter. Deci betyder tio och påminner om ordet för tio på andra europeiska språk såsom spanska och franska. Om vi har en sträcka i dm så tar vi den delat på tio för att få fram sträckan i meter, dvs vi flyttar kommatecknet ett steg åt vänster. Exempel: 34,5 dm är lika med 3,45 meter. För att omvandla från meter till decimeter gör vi tvärt om vi flyttar kommatecknet åt höger för att omvandla från meter till decimeter.

Omvandla centimeter till meter

Nästa mått i storleksordningen är centimeter (cm). Det betyder en hundradel och är en hundradels meter. Det betyder att om vi ska omvandla från dm så måste vi flytta kommat ett steg, eller ta bort en nolla. Ska vi omvandla till meter så får vi flytta kommat två steg eller ta bort två nollor. Ett exempel är om vi mäter oss och är 170 cm så kan vi också säga att vi är 1 meter och 70 cm. Vi skulle också kunna säga att vi är 17 dm långa men det skulle nog få folk att höja på ögonbrynen mer än något av de två föregående enheterna.

Omvandla millimeter till meter

Efter centimeter kommer millimeter (mm). Det går tio mm på en cm. På vanliga måttband och tumstockar finns mm angivna, ofta som streck i svart och vitt. Det är den enheten man brukar använda om man vill ha mycket exakthet. Som ett exempel så brukar snickare och andra yrkesmän ofta prata i mm i stället för cm. De säger att vi kapar den här vid 55 millimeter istället för att säga 5,5 cm som många icke yrkesmän nog skulle ha valt att säga. För att omvandla mellan cm och mm så gäller att det går 10 mm på en cm. Det gör att vi flyttar kommat ett steg åt höger om vi går från cm till mm och ett steg åt vänster om vi går från mm till cm. Till exempel är 150 mm är lika med 15,0 cm eller 0,15 meter.

Läs också: Omvandling av pint, gallon och quarts till svenska volymmått

Hur räknar man ut arean av en pyramid?

Vad är area?

Vi börjar med att beskriva konceptet area. Det handlar om hur stor yta någonting har. Arean mäts alltid i fyrkantiga mått, kvadratcentimeter, kvadratmeter etc. Har det vi ska mäta en annan form än kvadratisk så kan vi säga att vi måste dela upp formen i bitar och sedan sätta ihop det igen i kvadrater för att kunna mäta ytmåttet, arean.

Pyramidens area

En pyramid är en geometrisk figur med samma form som de egyptiska pyramiderna. Det är en figur som består av en basyta, den delen den står på, och  triangelformade sidoytor som stäcker sig upp från basytan och möts högst upp i en spets. Basytan kan ha formen av en kvadrat, rektangel eller triangel. Basytans form kommer att påverka hur arean räknas ut.

Pyramid med kvadratisk basyta

För att räkna ut den sammanlagda arean av en rak pyramid med kvadratisk basyta ska vi börja med att plocka sönder den i delar. Med rak pyramid menas att sidoytorna är likadana. Först har vi basytans area. Eftersom den i den här fallet är kvadratisk är det basen gånger höjden. Sedan har vi fyra stycken likadana sidoytor. Det är trianglar så då använder vi oss av formeln för triangelns area. För att få fram triangelns area tar vi basen gånger höjden delat på två. Då har vi fått fram hur stor area varje sidoyta har. Vi måste då komma ihåg att ta det gånger fyra eftersom vi har fyra stycken likadana sidor på vår pyramid. Nu till ett exempel…

Räkneexempel area

Vi antar att vi har en pyramid som har basytan 10 x 10 cm och en höjd på sidoytorna på 12 cm från mitten av kanten där den fäster i basytan och till pyramidens topp. Bredden är ju den samma som basytans bredd dvs. 10 cm. Basytan är då 10×10=100 cm2. Sidoytans area är då 10 x 12 /2 vilket ger, 10×12= 120, 120/2 = 60 cm2. 60 cm2 är alltså arean av en sidoyta och därför får vi ta det gånger 4 för att få fram arean för alla sidoytor. Den sammanlagda arean för sidoytorna är alltså 4 x 60 = 240 cm2. Till slut lägger vi ihop basytans radie med sidoytornas, 100 cm2 + 240 cm2 = 340 cm2. Den sammanlagda arean av hela pyramiden är 340 cm2.

Hur räknar man ut arean av en kub?

Kuber och rätblock

Tre-dimensionella fyrkanter kan antingen vara kuber eller rätblock. Har figurens höjd längd och bredd lika långa sidor dvs är de kvadratiska så är det en kub. Har figuren däremot rektangulära, dvs avlånga sidor så är det ett rätblock. En tärning har formen av en kub medan en tegelsten däremot är ett exempel på ett rätblock. För att en kub ska vara en kub krävs även att alla vinklar är räta, dvs 90 grader.

Arean av en kvadrat

Av de geometriska figurerna är kuben den lättaste att räkna ut arean av. Vi vet hur vi räknar ut arean av en kvadrat. Det är längden gånger höjden. Vi tar en sida av kuben och räknar ut hur stor den är. Har varje sida till exempel måttet 20 x 20 cm så tar vi 20 x 20 vilket är 400 cm2. Då vet vi att varje sida av kuben har arean 400 cm2. Hur många sidor har då kuben? Ja, hur många sidor har en tärning?

Areaberäkning

Eftersom träningen har 6 sidor så har även vår kub det. Vi får alltså ta arean av en sida gånger 6. I det här fallet har vi en kub med sidan 20 cm och vi vet att arean av en sida är 400 cm2. Tar vi 400 cm2 x 6 så får vi fram den totala arean av hela figuren. 400 x 6 = 24 000 cm2. Det betyder att den totala ytan, arean av vår kub är 24 000 cm2. Det innebär att om vår kub är en flyttkartong till exempel hade vi kunnat vika ut den och lägga den platt på marken och den hade då täckt en yta av 24 000 cm2. Men hur mycket är egentligen det?

Omvandling av enheter

Det är svårt att få en idé om hur stor en yta är när den är skriven i en enhet som inte passar för ändamålet eller om den har många decimaler eller nollor. 20 cm var en passade enhet när det handlade om sidan på vår kub. Men 24 000 cm2 är inte en passande enhet för att berätta hur stor sammanlagd yta hela figuren har. Därför är det bra att kunna omvandla enheten till en mer passande. 24 000 cm2 är det lika med 24 dm2. Nu är det lättare att få en uppfattning om storheten på vår kub.

Läs också: Hur räknar man ut volymen av ett prisma?

Hur räknar man ut arean av en kon?

Area betyder hur stor sammanlagd yta en figur har. Den geometriska figuren kon har en cirkelformad basyta och sedan en yta som stäcker sig från cirkel och upp tills att den möts i en spets. Denna sidoyta brukar på matematikspråk kallas för mantelyta. En kon är helt enkelt formad som en klassisk kon som du dribblat runt på fotbollsträningen som liten eller haft på huvudet som stjärngosse-strut för den delen.

Pi och area

Det som gör det lite knepigare att räkna ut arean av en kon än andra mer kantiga figurer är att vi som alltid när det har att göra med cirklar måste använda oss av pi. Pi är ett begrepp som används i matematiken för att räkna ut arean av cirklar bland annat. Man brukar säga att pi är lika med 3,14. Det är ett ungefärligt mått då Pi egentligen har många decimaler.

Cirkelns area

För att räkna ut arean av en kon börjar vi med att räkna ut basytans area. Den är cirkelformad och formeln för cirkelns area är pi gånger radien i kvadrat. Radien är avståndet från cirkelns mittpunkt till dess ytterkant. Icke att blanda ihop med diametern som är avståndet från den ena sidan av cirkeln till den andra. Vi tar det avståndet gånger sig självt och sedan gånger 3,14. Då har vi räknat ut basytans area. För att räkna ut sidoytans area tar vi radien gånger pi gånger konens höjd. Då har vi fått fram arean för de olika delarna och behöver bara lägga ihop dem för att få fram den totala arean. Nu till ett exempel.

Räkneexempel area

Vi har en kon som har en basyta med en radie på 5 cm och en höjd på 10 cm. Radien är avståndet från cirkeln smitt till kanten. Vi börjar med att ta 5 gånger 5 vilket är 25 och sedan gånger 3,14. Det ger en basyta på 78,5 cm2.

Sidoytans area räknas därefter ut genom att ta radien gånger 3,14 gånger höjden. I det här fallet 5x 3,14x 10 = 157cm2. Sista steget är då att lägga ihop basytans area med sidoytans area vilket ger, 78,5 + 157 = 235,5 cm2.

Hur räknar man ut arean av en cylinder?

Den geometriska figuren cylinder har formen av en vanlig konservburk. I den här texten ska vi ta en titt på hur man räknar ut arean av en cylinder, dvs hur stor sammanlagd yta den har.

En cylinder kan delas upp i tre delar. Och vi måste dela upp den i dessa delar för att kunna räkna ut dess area. Cylindern består av bottenyta, toppyta och mantelyta. Botten och toppen är cirkelformade. I det här exemplet kommer vi bara att ta upp raka cylindrar, det betyder att botten- och toppytan är lika stora cirklar. Om man viker ut mantelytan, som binder ihop cirklarna så ser man att den har formen av en rektangel. Ytorna vi ska beräkna är alltså två cirklar och en rektangel som vi sedan kommer att lägga ihop för att få fram den totala arean av cylindern. Formeln för cylinderns area är 2 gånger pi gånger radien i kvadrat + höjden gånger (2 gånger pi gånger radien)

Arean av en cirkel

Vi har en konservburk som vi vill måla och måste ta reda på hur stor ytan att måla är. Burken har diametern 6 cm, dvs radien 3 cm och höjden 7 cm. Eftersom vår cylinder består av två stycken cirklar så är det första vi måste göra att räkna ut cirkelns area. Cirkelns area är radien i kvadrat gånger pi. Har vi en cirkel med radien 3 cm så är radien i kvadrat 3×3=9. Vi använder oss av att pi är 3,14 och då är nästa steg att ta 9 x 3,14 vilket blir 28,26 cm2. Det betyder att var och en av våra två cirklar har arean 28,26 cm2. 

Arean av mantelytan börjar med cirkelns omkrets

För att räkna ut den rektangelformade mantelytan som binder ihop de båda cirklarna i vår konservburk så använder vi formeln h(2pir). Eftersom det är en rektangel så är det basen gånger höjden som gäller. I det här fallet kommer höjden vara höjden av cylindern dvs 7 och basen kommer att vara den sidan som är böjd och utgör cirkelns omkrets. Formeln för cirkelns omkrets är 2 gånger pi gånger radien. Eftersom vi alltid måste ta det som står i parentesen först så ska vi börja med att räkna ut 2 gånger pi gånger radien, 2 x 3,14 x 3 = 18,84. Nu vet vi hur lång basen i rektangeln är. Eftersom konservburkens höjd är 7 cm så tar vi 18,84 x 7 vilket är 131,88 cm2.

Räkna ut arean av en konservburk

När vi har arean för cirkeln som utger toppen och botten samt mantelytans area så behöver vi bara lägga ihop dem. Vi tar alltså 28,26 + 28,26 + 131,88= 188,40. Det betyder arean av hela vår cylinderformade konservburk är 188,4 cm2. ¨

Läs också: Hur räknar man ut arean av en kon?

Hur räknar man ut volymen av ett prisma?

Vad är en prisma?

Ett prisma är en geometrisk figur som består av två stycken basytor, vi kan kalla dem botten och toppen och sedan sidoytor som binder ihop dessa två. Prismats basytor kan ha olika form såsom t ex en triangel men de kan också ha mer ovanliga former. Har basytan en enkel form såsom kvadrat eller triangel är det lättare att räkna ut. Har basytan formen av en stjärna eller något liknande är blir det genast knepigare. Då måste man iblanda dela upp basytan i flera delar och räkna ut arean för varje del för sig för att sedan lägga samman dem.

För att räkna ut volymen av ett prisma gäller det att först ta reda på basytans area, det vill säga botten och toppen av figuren. När vi har tagit reda på basytans area är nästa steg att multiplicera den med prismats höjd. Enkelt beskrivet är det alltså arean av basen gånger höjden. Nu till några exempel…

Räkna ut basytans area

Basytans area är olika svår att beräkna beroende på formen på basytan. Det lättaste är förstås om det är en kvadratisk basyta. Då är det kanterna på basytan gånger varandra för att få reda på basytans area. Sedan är det bara att multiplicera aren med höjden för hela prismat. Vi antar att vi har ett prisma med en rektangulär botten som har kanterna 2 och 3 cm. Hela prismat är sedan 5 cm högt. Då får vi först räkna ut basytan, i det här fallet 2 gånger 3 som blir lika med 6. Arean av basytan är då 6 cm2. Nu ska vi multiplicera det med höjden, 5. 6 gånger 5 ger 30 och vår prisma har alltså volymen 30 cm3.

Arean av en triangel

Är det en triangel så är det basen gånger höjden delat på två som gäller eftersom formeln för att räkan ut arean av en triangel är basen gånger höjden delat på två. När vi gjort det så multiplicerar vi arean med höjden på hela figuren. I det här exemplet har triangelns bas 3 cm och höjd 2 cm och höjden av hela prismat är även här 5 cm. Vi börjar likadant med att multiplicera basen och höjden, 3 gånger 2 som är lika med 6. Men nu måste vi avsluta med att dela svaret på två eftersom det är en triangel och inte en rektangel det är frågan om. 6 delat på 2 är 3 och basytans area är således 3cm2. Nästa steg är att multiplicera basytans area med höjden av figuren, i detta fall också 5 cm. 3 gånger 5 ger svaret 15. Volymen av prismat är här alltså 15 cm3.

Räkna ut volymen av en figur

Säg att vi har ett prisma med en basyta som har formen av en stjärna. Då kan vi behöva dela upp stjärnan i flera små bitar, i det här fallet trianglar. Sedan räknar vi ut arean för varje liten del av stjärnan för sig. När vi gjort de subtraherar vi arean av delarna tills vi har fått reda på arean för hela basytan. Nu tar vi arean av hela stjärnan gånger höjden av prismat.

Var det knepigt? Jag hoppas att det klarnat något.

Läs också: Hur räknar man ut arean av en pyramid?