Hur räknar man ut volymen?

Volym är hur stort något är eller hur mycket en figur rymmer. Det kan handla om ett mjölkpaket, en tanker eller något annat föremål som man fyller med vätska eller annan gas eller massa. För att räkna ut volymen av ett föremål tar man arean av basen gånger höjden. Det förutsätter dock att figuren har samma form hela vägen upp och en likadan toppyta som basytan. För figurer som har en avsmalnande form upp mot en spets så måste det tas i åtanke när man räknar ut volymen.

Det samma gäller för runda former såsom klot. Hur man räknar ut arean av basytan beror på dess form. Den enklaste figuren har en kvadratisk basyta. Då gäller formeln längden gånger bredden. För att få fram volymen av en kub, som har alla sidor identiska, som en tärning, så är blir det längden gånger bredden gånger höjden.

SI-enheten för volym

SI- enheter, eller det metriska systemet är ett internationellt system för enheter. För volym finns ingen grundenhet i SI-systemet men den härledda enheten för volym är kubikmeter. För att kunna veta hur många kubikmeter en figur är så måste räkna ut dess volym.

Som nämnts tidigare så är det olika formler för olika figurer, och du hittar dem alla här på angränsande sidor. För alla figurer som innehåller runda former av något slag måste vi använda pi för att kunna få fram arean för att sedan räkna ut volymen. Se varje figur för exakta formler och räkneexempel.

Komplicerade figurer

Om figuren har en oregelbunden form så kan du vara tvungen att avgränsa och dela upp figuren i flera mindre delar för att räkna ut volymen av var och en av de mindre figurerna för att sedan lägga ihop dem igen. För att ge ett exempel så kan en stjärna delas upp i flera trianglar.

På samma sätt kan man bli tvungen att räkna ut arean eller volymen av en hel imaginär figur för att sedan skära ut en del som är intressant. Det skulle vara fallet om du till exempel vill veta volymen av en tårtbit av en rund tårta. Du måste då räkna ut arena av basytan av hela tårtan och sedan dela den på så stor del av den totala tårtan som du har på tallriken. En tårtbit är ett exempel på ett prisma. De kan ha vilken form som helst men gemensamt för alla prismor är att de har likadana bas- och toppytor.

Hur räknar man ut volymen av en kon?

En kon är en geometrisk figur som har formen av just en kon som vi tänker oss den. Den klassiska konen på fotbollsträningen, eller glasstruten om du så vill. En kon består av en basyta, den cirkelformade botten, och en mantelyta, den delen som sveper sig runt basytan i form av en mantel och möts uppe i en punkt som markerar spetsen på konen. För att räkna ut arean av en kon använder du dig av dessa två ytor. För att räkna ut volymen är det som vanligt basen och höjden som är intressanta, och därmed radien och höjden som i alla figurer som innehåller runda former.

Kon och cylinder

En kon påminner på vissa sätt om en cylinder, den figuren som är formad som en konservburk. Skillnaden är att cylindern är rak och konen är avsmalnande upp emot spetsen där mantelytans sidor går ihop till en spets. Om konens spets ligger rakt ovanför mitten på cirkeln som utgör basytan så kallas den för en rak cirkulär kon. Det är den formen vi oftast menar när vi pratar om koner och är också det vi i fortsättningen kommer mena när vi talar om koner i den här texten. Om vi har en kon och en cylinder med samma mått så kommer konens volym att vara en tredjedel av cylinderns. Om vi har en cylinderformad burk som har samma cirkulära basyta och samma höjd som en kon så kan vi tänka oss att vi stoppar ner konen i burken och det kommer då att vara tomt uppe runt spetsen. Den delen utgör två tredjedelar av burkens volym. Det var lite bakgrund, nu till formeln.

Räkna ut volymen av en kon

  • Volymen av en cylinder är basen gånger höjden.
  • Volymen av en kon är basen gånger höjden delat på tre.
  • Vi vet att vi vill ta basen gånger höjden delat på tre men då måste vi först räkna ut basens area. Eftersom det är en cirkulär basyta så måste vi använda oss av pi. Vi antar att  är 3,14.

Formeln för volymen av en kon

Vi måste först räkna ut basytans area, radien upphöjt i två gånger pi. När vi har räknat ut basytan tar vi den gånger höjden då har vi volymen för motsvarande cylinder. Slutligen tar di den delat på tre så får vi fram konens volym. Nu till ett exempel.

Räkneexempel volym av kon

Lotta har gjort en strut av papper för att fylla den med godis. Struten är konformad och har diametern 10 cm och höjden 12 cm. Hur stor volym har godisstruten?

Strutens basyta har radien 5 cm. Då börjar vi med att räkan ut basytans area.

5 x 5 x 3,14  = 78,5 cm är basytans area

Basen gånger höjden delat på tre = volymen av struten

78,5 x 12 /3 = 314

Volymen av struten är 314 kvadratcentimeter.

Hur räknar man ut volymen av en kub?

Volym använder vi för att tala om hur stor plats något tar eller hur stor rymd en figur har. SI-enheten för volym är m3 , kubikmeter. En kub är en tredimensionell kvadrat där alla sidor är lika långa. En kubikmeter kan vara en kub där alla sidor är en meter. Det kan också vara en annan figur med annan form men som om man skulle forma om den skulle ha storleken av en kub med alla sidor en meter långa.

Volymen av en kub

Nu ska vi lära oss att räkna ut volymen av en kub. Om man ska räkna ut arean av en kvadrat så tar man ju längden gånger höjden. Nu har vi en tredimensionell figur med samma form så då måste vi ta gånger höjden också. Det är alltså längden gånger bredden gånger höjden.

Volymen av en kub = Längden x Bredden x Höjden

Om det är en kub så kommer alla sidor vara lika långa. Då är det bara att ta dem gånger varandra. Om vi till exempel har en kub som har sidan 5 cm så kommer det att bli 5x5x5= 125 cm3.

Räkna ut volymen av ett rätblock

Ett rätblock är en tredimensionell fyrkant men när de olika sidorna är olika långa. Den har fortfarande alla vinklar i 90 grader precis som kuben men sidorna har olika längd. Exempel på rätblock är figurer som en tegelsten, ett mjölkpaket, en tändsticksask osv. För att räkna ut volymen av ett rätblock så är det också längden x bredden x höjden. Den enda skillnaden är att det inte kommer att vara samma längd på de olika sidorna.

Omvandling av enheter

Det är vanligt att man talar om volym i liter då vi är mer vana att göra det både vad det gäller matförpackningar som mjölkpaket och stora volymer som tankar och containrar. En kub som har sidan 1 dm kommer att ha volymen en liter. Det går att tänka sig att om man omformar ett mjölkpaket så att det blir kvadratiskt då skulle ha alla sidor en decimeter långa. Det skulle vara 1 dm x 1 dm x 1dm = 1 dm3 vilket motsvarar en liter.

1 dm3 = 1 liter

0,001 m3 = 1 liter

För att lära dig räkna ut volymen av mer komplexa figurer ta en titt på hur du räknar ut volymen av ett klot, ett prisma eller en kon.

Läs också: Hur räknar man ut arean av en kub?

Hur räknar man ut volymen av ett klot?

Volym

Volym handlar om hur mycket plats en figur tar. Den kan bestå av vätska, gas eller som oftast är fallet fast form som en matematisk figur av något slag. Det kan handla om att du vill räkna ut hur många liter det får plats i ett badkar av en viss storlek eller se hur stor plats en viss mängd av ett byggmaterial kommer att ta. Eller varför inte hur stort ett glas måste vara för att rumma en viss mängd vätska. Allt detta handlar om volym.

Räkna ut volymen av ett klot

Ett klot är den matematiska termen för en boll eller tredimensionell cirkel. När man pratar om arean av ett klot brukar man prata om sfär för då är det bara ytan som är intressant. Men när det handlar om klotet som helhet inklusive dess insida så är det termen klot som gäller. Det är lite knepigare att räkna med runda eller halvrunda figurer än med kantiga men formeln för volymen av ett klot är följande.

Volymen av ett klot

För att räkna ut det exakt så kan man använda en miniräknare som har en pi-knapp. Om man inte har en sådan miniräknare så går det bra att använda sig av p = 3,14. Det är den vedertagna avrundningen av pi. Men då pi egentligen har många decimaler så blir det då inte ett helt exakt svar.

Radien är avståndet från klotets mitt ut till kanten. Om man inte har tillgång till radien men vet diametern, dvs avsåndet från ena sidan av klotet till det andra rakt igenom mittpunkten, så tar man diametern delat på två för att få fram radien.

Räkneexempel volym av klot

Om vi antar att vi har ett klot med en radie på 5 cm och vi använder oss av p = 3,14 så blir uppställningen:

 

(4 x 3,14 x 53

3

4 x 3,14 x 275 = 1151,33 cm3

3

Volymen av ett klot med radien 5 cm är 1151,33 cm3

Olika geometriska figurer har olika formler för uträkning av volymen. Här kan du se hur du räknar ut volymen av en kub, cylinder, kon och ett prisma.

Läs också: Hur räknar man ut arean av en sfär?

Hur räknar man ut arean av en pyramid?

Vad är area?

Vi börjar med att beskriva konceptet area. Det handlar om hur stor yta någonting har. Arean mäts alltid i fyrkantiga mått, kvadratcentimeter, kvadratmeter etc. Har det vi ska mäta en annan form än kvadratisk så kan vi säga att vi måste dela upp formen i bitar och sedan sätta ihop det igen i kvadrater för att kunna mäta ytmåttet, arean.

Pyramidens area

En pyramid är en geometrisk figur med samma form som de egyptiska pyramiderna. Det är en figur som består av en basyta, den delen den står på, och  triangelformade sidoytor som stäcker sig upp från basytan och möts högst upp i en spets. Basytan kan ha formen av en kvadrat, rektangel eller triangel. Basytans form kommer att påverka hur arean räknas ut.

Pyramid med kvadratisk basyta

För att räkna ut den sammanlagda arean av en rak pyramid med kvadratisk basyta ska vi börja med att plocka sönder den i delar. Med rak pyramid menas att sidoytorna är likadana. Först har vi basytans area. Eftersom den i den här fallet är kvadratisk är det basen gånger höjden. Sedan har vi fyra stycken likadana sidoytor. Det är trianglar så då använder vi oss av formeln för triangelns area. För att få fram triangelns area tar vi basen gånger höjden delat på två. Då har vi fått fram hur stor area varje sidoyta har. Vi måste då komma ihåg att ta det gånger fyra eftersom vi har fyra stycken likadana sidor på vår pyramid. Nu till ett exempel…

Räkneexempel area

Vi antar att vi har en pyramid som har basytan 10 x 10 cm och en höjd på sidoytorna på 12 cm från mitten av kanten där den fäster i basytan och till pyramidens topp. Bredden är ju den samma som basytans bredd dvs. 10 cm. Basytan är då 10×10=100 cm2. Sidoytans area är då 10 x 12 /2 vilket ger, 10×12= 120, 120/2 = 60 cm2. 60 cm2 är alltså arean av en sidoyta och därför får vi ta det gånger 4 för att få fram arean för alla sidoytor. Den sammanlagda arean för sidoytorna är alltså 4 x 60 = 240 cm2. Till slut lägger vi ihop basytans radie med sidoytornas, 100 cm2 + 240 cm2 = 340 cm2. Den sammanlagda arean av hela pyramiden är 340 cm2.

Hur räknar man ut arean av en kub?

Kuber och rätblock

Tre-dimensionella fyrkanter kan antingen vara kuber eller rätblock. Har figurens höjd längd och bredd lika långa sidor dvs är de kvadratiska så är det en kub. Har figuren däremot rektangulära, dvs avlånga sidor så är det ett rätblock. En tärning har formen av en kub medan en tegelsten däremot är ett exempel på ett rätblock. För att en kub ska vara en kub krävs även att alla vinklar är räta, dvs 90 grader.

Arean av en kvadrat

Av de geometriska figurerna är kuben den lättaste att räkna ut arean av. Vi vet hur vi räknar ut arean av en kvadrat. Det är längden gånger höjden. Vi tar en sida av kuben och räknar ut hur stor den är. Har varje sida till exempel måttet 20 x 20 cm så tar vi 20 x 20 vilket är 400 cm2. Då vet vi att varje sida av kuben har arean 400 cm2. Hur många sidor har då kuben? Ja, hur många sidor har en tärning?

Areaberäkning

Eftersom träningen har 6 sidor så har även vår kub det. Vi får alltså ta arean av en sida gånger 6. I det här fallet har vi en kub med sidan 20 cm och vi vet att arean av en sida är 400 cm2. Tar vi 400 cm2 x 6 så får vi fram den totala arean av hela figuren. 400 x 6 = 24 000 cm2. Det betyder att den totala ytan, arean av vår kub är 24 000 cm2. Det innebär att om vår kub är en flyttkartong till exempel hade vi kunnat vika ut den och lägga den platt på marken och den hade då täckt en yta av 24 000 cm2. Men hur mycket är egentligen det?

Omvandling av enheter

Det är svårt att få en idé om hur stor en yta är när den är skriven i en enhet som inte passar för ändamålet eller om den har många decimaler eller nollor. 20 cm var en passade enhet när det handlade om sidan på vår kub. Men 24 000 cm2 är inte en passande enhet för att berätta hur stor sammanlagd yta hela figuren har. Därför är det bra att kunna omvandla enheten till en mer passande. 24 000 cm2 är det lika med 24 dm2. Nu är det lättare att få en uppfattning om storheten på vår kub.

Läs också: Hur räknar man ut volymen av ett prisma?

Hur räknar man ut arean av en cylinder?

Den geometriska figuren cylinder har formen av en vanlig konservburk. I den här texten ska vi ta en titt på hur man räknar ut arean av en cylinder, dvs hur stor sammanlagd yta den har.

En cylinder kan delas upp i tre delar. Och vi måste dela upp den i dessa delar för att kunna räkna ut dess area. Cylindern består av bottenyta, toppyta och mantelyta. Botten och toppen är cirkelformade. I det här exemplet kommer vi bara att ta upp raka cylindrar, det betyder att botten- och toppytan är lika stora cirklar. Om man viker ut mantelytan, som binder ihop cirklarna så ser man att den har formen av en rektangel. Ytorna vi ska beräkna är alltså två cirklar och en rektangel som vi sedan kommer att lägga ihop för att få fram den totala arean av cylindern. Formeln för cylinderns area är 2 gånger pi gånger radien i kvadrat + höjden gånger (2 gånger pi gånger radien)

Arean av en cirkel

Vi har en konservburk som vi vill måla och måste ta reda på hur stor ytan att måla är. Burken har diametern 6 cm, dvs radien 3 cm och höjden 7 cm. Eftersom vår cylinder består av två stycken cirklar så är det första vi måste göra att räkna ut cirkelns area. Cirkelns area är radien i kvadrat gånger pi. Har vi en cirkel med radien 3 cm så är radien i kvadrat 3×3=9. Vi använder oss av att pi är 3,14 och då är nästa steg att ta 9 x 3,14 vilket blir 28,26 cm2. Det betyder att var och en av våra två cirklar har arean 28,26 cm2. 

Arean av mantelytan börjar med cirkelns omkrets

För att räkna ut den rektangelformade mantelytan som binder ihop de båda cirklarna i vår konservburk så använder vi formeln h(2pir). Eftersom det är en rektangel så är det basen gånger höjden som gäller. I det här fallet kommer höjden vara höjden av cylindern dvs 7 och basen kommer att vara den sidan som är böjd och utgör cirkelns omkrets. Formeln för cirkelns omkrets är 2 gånger pi gånger radien. Eftersom vi alltid måste ta det som står i parentesen först så ska vi börja med att räkna ut 2 gånger pi gånger radien, 2 x 3,14 x 3 = 18,84. Nu vet vi hur lång basen i rektangeln är. Eftersom konservburkens höjd är 7 cm så tar vi 18,84 x 7 vilket är 131,88 cm2.

Räkna ut arean av en konservburk

När vi har arean för cirkeln som utger toppen och botten samt mantelytans area så behöver vi bara lägga ihop dem. Vi tar alltså 28,26 + 28,26 + 131,88= 188,40. Det betyder arean av hela vår cylinderformade konservburk är 188,4 cm2. ¨

Läs också: Hur räknar man ut arean av en kon?

Hur räknar man ut arean av en sfär?

Vad är en sfär?

Ordet sfär kommer från grekiskans ”sphaira” och betyder glob eller boll. Med sfär menas ytan av en helt perfekt rund tre-dimensionell geometrisk figur. Den korrekta definitionen för en sfär är att det är en yta som består av punkter som alla ligger på exakt samma avstånd ifrån mittpunkten. I det här exemplet ska vi ta reda på hur man räknar ut arean av en sfär.

Skillnaden mellan klot och sfär

I matematiken pratar man ibland också om klot och det är lätt att blanda ihop med sfär eftersom det handlar om samma form. Det som skiljer en sfär från ett klot att med ordet sfär menas endast det som omger klotet alltså dess yta. Begreppet klot används för att prata om hela figuren dvs. även det som är innanför sfären. Om vi har ett bowlingklot eller en boll så kallas det för klot. Men pratar vi om den målade ytan på bowlingklotet så är det dess sfär. Det kan förvirra då det ibland kan handla om samma figur. Men ska vi räkna ut volymen av ett klot pratar vi om klotet eftersom det då rör sig om även insidan av figurer. Ska vi däremot räkna ut arean så är det endast sfären som är intressant även om det ibland benämns klot i alla fall. Är det samma figur så har klotet och sfären samma radie och diameter.

Arean av ett klot

För att räkna ut arean av sfären runt ett klot, dess yta, har vi formeln 4 x pi x radien upphöjt i två. Det är så klart att ytan av ett klot är olika stor beroende på hur stort klotet är. Det som visar oss hur stort klotet är är dess radie, avståndet från klotets mittpunkt till vilken punkt som helst på dess yta. När vi har mätt radien den tar vi den gånger sig själv. Därefter tar vi det svaret gånger pi, som vi i det här fallet kommer avrunda till 3,14. och sedan gånger 4. Då har vi fått fram arean av klotets sfär. När vi avrundar pi får vi alltid ett ungefärligt svar.

Radie och diameter

Det första vi måste göra är att ta reda på radien av vårt klot. Avståndet från mittpunkten till ytan. Det är det enda måttet vi behöver för att ta reda på arean av sfären. Om vi inte har radien men däremot diametern, dvs hur stort avstånd det är från kant till kant på klotets tjockaste ställe, kan vi ta det måttet delat på två. Vi kan anta att vi har ett klot med en radie på 5 cm och ta och titta på hur vi för in det i formeln. .

Räkneexempel

Första steget är att ta radien upphöjt i två, dvs radien gånger radien. I det här fallet var radien 5, så då tar vi 5 x 5= 25. Radien av vårt klot upphöjt i två är 25. Nästa steg är att ta det gånger pi. Pi sa vi var ungefär 3,14 så vi använder oss av det även om svaret då inte blir helt exakt utan avrundat. Har man en miniräknare med pi är det bättre att använda det och sedan avrunda på slutet om man vill ha ett exaktare svar. 25 x 3,14 = 78,5. Nu ska vi ta det svaret gånger 4. 78,5 x 4 = 314 cm2. Hade vi nu haft en miniräknare med pi-knapp hade vi fått svaret 314,16… Det vill säga vi hade fått ett exaktare svar än om vi avrundar tidigare i uträkningen. Prova att byta ut radien och sätta in andra siffror istället för 5 och se om du kan räkna ut hur stor yta sfären har.

Läs också: Hur räknar man ut volymen av ett prisma?